Published April 1966
| Version v1
Book
Equilibrium and Stability of the M-and-S Torus and Related Configurations
Creators
- 1. Max-Planck-Institut für Physik und Astrophysik, Munich, Federal Republic of Germany (Germany)
Description
Using the model of a field free plasma which is characterized by surface currents only, one derives a differential equation for the equilibrium surface S: Σ2i,k=1 gik (∂∅)/∂x1 (∂∅)/(∂xk) = l (gik = metric tensor of the surface S; ∅(xi, xk) = magnetic potential on S, xi, xk = surface parameters). To obtain a suitable coordinate system we take a reference line R (s) (s = arc length) and introduce polar coordinates r, θin the plane of the normal-binormal vectors n, b. It is shown that the M-and-S torus[1] is a special solution of this equation, and a rough picture of the whole class of M-and-S configurations is given. For this purpose an auxiliary torus r0 (s, θ) is constructed with the property that all the lines θ = constant have the same total length. If ∅ (s, θ) is defined to be the arc length along these lines, the unknown equilibrium torus almost coincides with the auxiliary torus. The difference is of the order of the aspect ratio. On the basis of the MHD energy principle modified by Luest and Martensen the interchange instability is investigated and a stability criterion is ∅ (μ/p)dl >0 (1/p= curvature of a magnetic field line, l = arc length along a field line, 1/μ = d = ''distance'' between two field lines) is established for all field lines. The M-and-S torus can be stabilized against pure interchanges if along each of the field lines the curvature is sufficiently favourable in the mean. The general theory is also applied to the simple torus with circular cross section where a stabilizing effect of the torus curvature is found. The above criterion can be obtained formally from the δ∫dl/B < 0 criterion, which is derived for the low-β case. The requirement B2 = constant on a certain pressure surface yields the above criterion.
Abstract (French)
A l'aide d'un modèle de plasma sans champ caractérisé par des courants de surface seulement, les auteurs établissent une équation différentielle de la surface d'équilibre S: Σ2i,k=1 gik (∂∅)/∂x1 (∂∅)/(∂xk) = l (gik = tenseur métrique de la surface S; ∅(xi, xk) = potentiel magnétique sur S, xi, xk = paramètres de la surface). Pour obtenir un système de coordonnées approprié, ils choisissent une courbe de référence R (s) (S = longueur de l'arc) et introduisent des coordonnées polaires r, 9 dans le plan du vecteur normal n et du vecteur binormal b. Ils montrent que le tore Mrèt-S est une solution particulière de cette équation et ils donnent une idée approximative de la classe toute entière des configurations M-et-S. A cette fin, ils construisent un tore auxiliaire r0 (s, θ) tel que toutes les courbes θ = constante aient la même longueur totale. Si ∅ (s, θ) est défini comme étant la longueur de l'arc le long de ces courbes, le tore d'équilibre inconnu coincide presque avec le tore auxiliaire. La différence est de l'ordre de l'allongement. En se fondant sur le principe de l'énergie en magnétohydrodynamique modifié par Lьst et Martensen, les auteurs étudient l'instabilité d'échange et établissent un critère de stabilité ∅ (μ/p)dl >0 pour toutes les lignes de champ (1/p = courbure de la ligne de champ magnétique, f = longueur de l'arc le long des lignes de champ, 1/μ= d = «distance» entre deux lignes de champ). On peut rendre le tore M-et-S stable à l'égard des échanges purs si, le long de chacune des lignes de champ, la courbure est suffisamment favorable en moyenne. Les théorie générale s'applique également au tore simple à'section circulaire dans lequel on constate un effet stabilisateur de la courbure du tore. On peut obtenir le critère ci-dessus d'une manière formelle à partir du critère δ∫dl/B < 0 qui est déduit du cas où β est faible. La condition B2 = constante sur une certaine surface de pression entraîne le critère énoncé ci-dessus. (author)Abstract (Spanish)
Con ayuda de un modelo de plasma exento de campos caracterizado por corrientes superficiales únicamente, los autores deducen una ecuación diferencial de la superficie de equilibrio, S. Σ2i,k=1 gik (∂∅)/∂x1 (∂∅)/(∂xk) = l (gik = tensor métrico de la superficie S; ∅(xi, xk) = potencial magnético en S; xi, xk = parámetros de la superficie). Para obtener un sistema adecuado de coordenadas, los autores toman una línea de referencia R(s) (s = longitud del arco) e introducen las coordenadas polares r, θ en el plano de los vectores normales-binormales n, b. Demuestran que el toro M-y-S representa una solución particular de esta ecuación, y describen a grandes rasgos toda la serie de configuraciones M-y-S. Para ello, establecen un toro auxilias r0 (s, θ), que presenta la propiedad de que todas las líneas de θ= const, poseen la misma longitud total. Si se define∅(s, θ) como la longitud del arco interceptado por estas líneas, el toro de equilibrio desconocido tiende a coincidir con el toro auxiliar. La diferencia es del orden de la razan de dimensiones. Basándose en el principio de la energía magnetohidrodinámica modificado por Lьst y Martensen, investigan la inestabilidad de intercambio y establecen un criterio de estabilidad: ∅ (μ/p)dl >0 ; para todas la líneas de fuerza (1/p= curvatura de la línea de fuerza magnética, l = longitud del arco interceptado por las líneas de fuerza, 1/μ = d = «distancia» entre dos líneas de fuerza). -El toro M-y-S puede estabilizarse frente a los intercambios puros siempre que la curvatura media a lo largo de cada línea de fuerza sea en término medio suficientemente favorable. La teoría general de aplica también al toro sencillo de sección circular, en el cual se observa el efecto estabilizador de la curvatura. El criterio 'expuesto puede deducirse formalmente del criterio δ∫dl/B < 0, que se deduce para el caso de valor β bajo. La condición de B2 = const, en una determinada superficie de presión, da el mencionado criterio. (author)Abstract (Russian)
S pomoshh'ju modeli, svobodnoj ot polja plazmy, kotoraja harakterizuetsja tol'ko poverhnostnymi tokami, mozhno poluchit' differencial'noe uravnenie dlja ravnovesnoj poverhnosti S: Σ2i,k=1 gik (∂∅)/∂x1 (∂∅)/(∂xk) = l metry poverhnosti). Dlja poluchenija podhodjashhej sistemy koordinat my berem bazisnuju liniju R(s) (s —dlina dugi) i vvodim poljarnye koordinaty r, θ v ploskost' normal'no-binormal'nyh vektorov n, b.Pokazyvaetsja, chto M-i-S-Top javljaetsja special'nym resheniem dannogo uravnenija i daetsja priblizhennaja kartina vsego klassa M-H-S-konfiguracij. S jetoj cel'ju stroitsja vspomogatel'nyj tor r0 (S, θ), imejushhij to svojstvo, chto vse linii θ — post. imejut tu zhe obshhuju dlinu. Esli ∅(S, θ) ustanavlivaetsja ravnym dline dugi vdol' jetih linij, neizvestnyj tor ravnovesija pochti sovpadaet s vspomogatel'nym torom. Raznica sostavljaet porjadka otnositel'nogo udlinenija. Na osnove principa-magnitogidrodinamicheskoj jenergii, modificirovannogo Lьst i Martensenom, issleduetsja neustojchivost' vzaimnogo obmena i ustanavlivaetsja kriterij ustojchivosti dlja vseh linij polja ∅ (μ/p)dl >0 (1/p —krivizna linii magnitnogo polja, 1 — dlina dugi vdol' linij polja, 1/μ = d — ''distancija'' mezhdu dvumja linijami polja). M-i-S-TOp mozhet byt' stabilizirovan protiv chistyh vzaimnyh obmenov, esli krivizna vdol' kazhdoj linii polja v srednem dostatochno blagoprijatna. Obshhaja teorija primenjaetsja takzhe k prostomu toru s krugovym secheniem, gde obnaruzhen stabilizirujushhij jeffekt krivizny tora. Privedennyj vyshe kriterij mozhet byt' poluchen formal'no iz kriterija δ∫dl/B < 0, kotoryj vyveden dlja sluchaja s nizkim znacheniem β. Trebovanie B2 = post. na opredelennoj poverhnosti davlenija privodit k ukazannomu vyshe kriteriju. (author)Additional details
Additional titles
- Original title (English)
- Equilibre et Stabilite du Tore M-et-S et de Configurations Associees; Ravnovesie i ustojchivost' M i S tora i svyazannykh s nim konfiguratsii; Equilibrio y Estabilidad del Toro M-Y-S y de las Configuraciones Afines
Publishing Information
- Publisher
- IAEA
- Imprint Place
- Vienna (International Atomic Energy Agency (IAEA))
- Imprint Title
- Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research Vol. I. Proceedings of a Symposium on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research
- Imprint Pagination
- 792 p.
- Series
- Proceedings Series
- Journal Page Range
- p. 757-765
- ISSN
- 0074-1884
Conference
- Title
- Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research
- Dates
- 6-10 Sep 1965
- Place
- Culham (United Kingdom)
INIS
- Country of Publication
- International Atomic Energy Agency (IAEA)
- Country of Input or Organization
- International Atomic Energy Agency (IAEA)
- INIS RN
- 44073939
- Subject category
- S70: PLASMA PHYSICS AND FUSION TECHNOLOGY;
- Resource subtype / Literary indicator
- Conference
- Descriptors DEI
- ASPECT RATIO; CONFIGURATION; CROSS SECTIONS; DIFFERENTIAL EQUATIONS; EQUILIBRIUM; FLUTE INSTABILITY; MAGNETIC FIELDS; MAGNETOHYDRODYNAMICS; PLASMA; STABILITY; SURFACES; VECTORS
- Descriptors DEC
- DIMENSIONLESS NUMBERS; EQUATIONS; FLUID MECHANICS; HYDRODYNAMICS; INSTABILITY; MECHANICS; PLASMA INSTABILITY; PLASMA MACROINSTABILITIES; TENSORS
Optional Information
- Notes
- 10 refs., 6 figs. Imprint:In two volumes
- Secondary number(s)
- IAEA-CN--21/55