Published August 1965
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Book
Time and Space Eigenvalues of the Boltzmann Equation
Description
Two problems in neutron thermalization have aroused considerable experimental and theoretical interest. The experiments are the pulsed source in a pure moderator and the measurement of diffusion length. In a recent paper Corngold discusses the theory of the spectra of the eigenvalues (decay constants) arising from the consideration of these two problems. We examine from the viewpoint of Corngold's theory the temporal and spatial eigenvalues of a number of kernels. We use three methods of solving the Boltzmann transport equation and compare their accuracy. The methods studied are: (i) The diffusion approximation ; (ii) The P3 approximation ; (iii) The B0 approximation. The equations are solved numerically and in the case of the B0 method a new iterative scheme is applied to the resulting non-linear eigenvalue problem which gives good convergence. The kernels used include (a) the gas model, (b) the effective width model of Schofield and Egelstaff and (c) the crystal model (incoherent approximation). The effect on the scattering cross-sections of varying parameters in these models is shown graphically. The effective width model is used to represent light water, and the dependence of thermalization parameters on the effective width parameter has been calculated. The value of the effective width parameter giving optimum agreement with experimental values of these thermalization parameters is obtained. Results are tabulated of the variation of the time-dependent eigenvalues with size of system (B2) and the variation of the spatial eigenvalues with increased absorber concentration. The approach of the eigenvalues to a limiting value is shown graphically. The energy spectra of space- and time-dependent transients in a pulsed slab are also shown. (author)
Abstract (French)
Dans la thermalisation des neutrons, deux problèmes ont suscité un intérêt considérable chez les expérimentateurs et les théoriciens. Les expériences portent sur la source puisée dans un ralentisseur pur et sur la mesure de la longueur de diffusion. Dans un travail récent, Corngold discute la théorie des spectres des valeurs propres (constantes de décroissance) résultant de l'étude de ces deux problèmes. L'auteur examine du point de vue de la théorie de Corngold les valeurs propres temporelles et spatiales pour plusieurs noyaux. Pour résoudre l'équation de transport de Boltzmann, il emploie trois méthodes et compare l'exactitude des résultats. Les méthodes étudiées sont les suivantes: 1. Approximation de diffusion ; 2. Approximation P3; 3. Approximation B0. Les équations sont résolues numériquement; dans le cas de la méthode d'approximation B0, on applique au problème non linéaire des valeurs propres un nouveau procédé d'itération assurant une bonne convergence. Les noyaux employés comprennent: a) le modèle de gaz, b) le modèle de largeur effective de Schofield et Egelstaff, c) le modèle de cristal (approximation incohérente). L'effet sur les sections efficaces de diffusion, que l'on obtient en faisant varier les paramètres dans ces modèles, est indiqué graphiquement. Le modèle de largeur effective est employé pour représenter l'eau légère; on a calculé les variations des paramètres de thermalisation en fonction du paramètre de largeur effective. Pour ce paramètre, on a déterminé la valeur qui assure la meilleure concordance avec les valeurs expérimentales des paramètres de thermalisation. On présente sous forme de tableaux les résultats de la variation des' valeurs propres temporelles en fonction des dimensions du système (B2) et de la variation des valeurs propres spatiales en fonction de la concentration de l'absorbant. L'évolution des valeurs propres vers une limite est représentée graphiquement. L'auteur indique également les spectres énergétiques des états transitoires dépendant de l'espace et du temps dans une plaque exposée à des neutrons puisés. (author)Abstract (Spanish)
La termalización de neutrones plantea dos problemas que han suscitado considerable interés experimental y teórico. Los experimentos consisten en el empleo de la fuente pulsada en un moderador puro, y en la medición de la longitud de difusión. En un artículo reciente, Corngold discute la teorfa de los espectros de los valores propios (constantes de decremento) que se deriva del estudio de esos dos problemas. El autor examina con arreglo a la teorfa de Corngold los valores propios temporales y espaciales de una' serie de núcleos. Emplea tres métodos para resolver la ecuación de transporte de Boltzmann y compara su exactitud ; los métodos son: 1. La aproximación de difusión. 2. La aproximación P3. 3. La aproximación B0. Las ecuaciones se resuelven numéricamente, y en el caso del método B0 se aplica al resultado (un problema no lineal de valores propios) un nuevo procedimiento de iteración que da una buena convergencia. Los núcleos empleados incluyen a) el modelo gaseoso, b) el modelo de la anchura efectiva de Schofield y Egelstaff, y c) el modelo del cristal (aproximación incoherente). La memoria muestra gráficamente cómo varfan en estos modelos las secciones eficaces de dispersión cuando se modifican los parámetros. El autor emplea el modelo de la anchura efectiva para representar el agua ligera, y ha calculado cómo los parámetros de la termalización dependen del parámetro de anchura efectiva. También obtiene el valor de este último parámetro que mejor concuerda con los valores experimentales de los de la termalización. Se dan en cuadros los resultados de la variación de los valores propios dependientes del tiempo en función del tamaño del sistema (B2), así como la variación de los valores propios espaciales cuando aumenta la concentración del absorbedor. Un gráfico muestra la aproximación de los valores propios al valor lfmite. También se indican los espectros de energía de los fenómenos transitorios dependientes del espacio y del tiempo en una placa sometida a impulsos neutrónicos. (author)Abstract (Russian)
Dve problemy v oblasti termalizacii nejtronov vyzvali znachitel'nyj jeks- perimental'nyj i teoreticheskij interes. Jeksperimenty kasajutsja raspada impul'snyh is- tochnikov v chistom zamedlitele i izmerenija dliny diffuzii. V poslednej svoej rabote Korngol'd rassmatrivaet teoriju spektrov sobstvennyh znachenij (postojannye raspada), vy- tekajushhuju iz jetih dvuh problem. S tochki zrenija teorii Korngol'da rassmatrivajutsja vremennye i prostranstvennye sobstvennye znachenija rjada jader. Primeneny tri metoda reshenija uravnenija perenosa ''ol'c- mana i sravnena ih tochnost' . Issleduemymi metodami javljajutsja: 1. Diffuzionnaja approksimacija. 2. R3-approksimacija. 3. V0-approksimacija. Dlja uravnenij polucheny cifrovye znachenija, a v sluchae metoda V0 primenena novaja iteracionnaja shema dlja reshenija rezul'tatirujushhej nelinejnoj zadachi o sobstvennyh zna- chenijah, pozvoljajushhaja poluchit' horoshuju shodimost'. Ispol'zuemymi jadrami javljajutsja: a) model' gaza; ') model' jeffektivnoj shiriny Sho- fil'da i Jegel'staffa; s) kristallicheskaja model' (nekogerentnaja approksimacija). Vlijanie menjajushhihsja parametrov na sechenija rassejanija v jetih modeljah pokazano gra- ficheski. Chtoby predstavit' legkuju vodu, ispol'zovali model' jeffektivnoj shiriny. Ras- schitana zavisimost' parametrov termalizacii ot parametra jeffektivnoj shiriny. Polucheno znachenie parametra jeffektivnoj shiriny, soglasujushheesja nailuchshim obrazom s jeksperi- mental'nymi znachenijami jetih parametrov termalizacii. Rezul'taty izmenenija zavisjashhih ot vremeni sobstvennyh znachenij pri izmenenii raz- mera sistemy (V2) i izmenenija prostranstvennyh sobstvennyh znachenij pri uvelichenii kon- centracii poglotitelja svedeny v tablicu. Priblizhenie sobstvennyh znachenij k predel'- nomu znacheniju izobrazheno graficheski. Pokazany takzhe energeticheskie spektry zavisjashhih ot prostranstva i vremeni perehodnyh processov v pul'sirujushhej plastine. (author)Additional details
Additional titles
- Original title (English)
- Valeurs Propres Temporelles et Spatiales de l'Équation de Boltzmann; Vremennye i prostranstvennye sobstvennye znacheniya uravneniya bolydmana; Valores Propios Temporales y Espaciales de la Ecuacion de Boltzmann
Publishing Information
- Publisher
- IAEA
- Imprint Place
- Vienna (International Atomic Energy Agency (IAEA))
- Imprint Title
- Pulsed Neutron Research. Vol. I. Proceedings of the Symposium on Pulsed Neutron Research
- Imprint Pagination
- 713 p.
- Series
- Proceedings Series
- Journal Page Range
- p. 219-238
- ISSN
- 0074-1884
Conference
- Title
- Symposium on Pulsed Neutron Research
- Dates
- 10-14 May 1965
- Place
- Karlsruhe (Germany)
INIS
- Country of Publication
- International Atomic Energy Agency (IAEA)
- Country of Input or Organization
- International Atomic Energy Agency (IAEA)
- INIS RN
- 44078777
- Subject category
- S73: NUCLEAR PHYSICS AND RADIATION PHYSICS; S46: INSTRUMENTATION RELATED TO NUCLEAR SCIENCE AND TECHNOLOGY;
- Resource subtype / Literary indicator
- Conference
- Descriptors DEI
- ACCURACY; BOLTZMANN EQUATION; CONVERGENCE; CROSS SECTIONS; CRYSTAL MODELS; DIFFUSION LENGTH; EIGENVALUES; ENERGY SPECTRA; ITERATIVE METHODS; KERNELS; MODERATORS; NEUTRON DIFFUSION EQUATION; NEUTRONS; NONLINEAR PROBLEMS; P3-APPROXIMATION; PULSED NEUTRON TECHNIQUES; SCATTERING; SLABS; SPACE DEPENDENCE; THERMALIZATION; TIME DEPENDENCE
- Descriptors DEC
- APPROXIMATIONS; BARYONS; CALCULATION METHODS; DIFFERENTIAL EQUATIONS; DIFFUSION EQUATIONS; DIMENSIONS; ELEMENTARY PARTICLES; EQUATIONS; FERMIONS; HADRONS; INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS; KINETIC EQUATIONS; LENGTH; MATHEMATICAL MODELS; NUCLEONS; PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS; SLOWING-DOWN; SPECTRA; SPHERICAL HARMONICS METHOD
Optional Information
- Notes
- 14 refs., 11 figs., 7 tabs. Imprint:In two volumes
- Secondary number(s)
- IAEA-SM--62/44