L'etude des champs quantiques en espace-temps de Sitter est notamment motivee par le succes de la theorie de l'inflation, et la possibilite de realiser des tests de physique fondamentale a travers des experiences de cosmologie. Pour aller au dela de la description linearisee habituelle, il est necessaire d'utiliser des methodes non-perturbatives, pour s'affranchir des divergences infrarouges ou seculaires, elles-memes consequences de l'amplification gravitationnelle des modes super-horizon. Cette these se concentre tout d'abord sur le probleme de la retroaction d'une theorie O(N) de champs scalaires quantiques sur la geometrie ambiante, en lien avec le probleme de la constante cosmologique, les divergences precedemment citees pouvant reveler une instabilite de l'espace-temps de Sitter relaxant vers un espace-temps de Minkowski. On utilise ici le groupe de renormalisation fonctionnel (GRF), and on montre que la retroaction est toujours finie malgre la presence d'interactions. Le mecanisme de saturation est intrinsequement non-perturbatif et resulte de la generation d'une masse pour le champ scalaire. Le GRF permet de sonder un large espace de parametres, incluant notamment le cas d'un champ sans masse minimalement couple et des potentiels a symetrie brisee, et conclu a la stabilite de de Sitter dans tous les cas. L'autre thematique majeure concerne les effets des auto-interactions sur les correlateurs du champ scalaire pris en differents points de l'espace-temps, dans la limite infrarouge. La dependance dans les coordonnees d'espace-temps donne acces a diverses quantites physiques d'interet, comme des spectres de puissance, des temps de relaxation, ou de decoherence. Le formalisme stochastique est utilise dans ce cadre. Une formulation fonctionnelle en terme d'une theorie unidimensionnelle supersymetrique est obtenue avec la procedure de Janssen-de Dominicis, et est utilisee comme une theorie des champs effective pour le calcul des correlateurs via differentes techniques. Le GRF est d'abord implemente au dela de l'approximation du potentiel local (APL) usuelle au deuxieme ordre dans le developpement derivatif, l'APL donnant un resultat trop simplistes pour la dependance en espace-temps des correlateurs. On compare ensuite avec des resultats analytiques obtenus dans le contexte d'un developpement 1/N, et numeriques pour un seul champ (N = 1) sans masse et minimalement couple. On obtient typiquement une precision de l'ordre de dix pourcent dans ces deux cas pour le temps (ou la longueur) de correlation a grandes separations d'espace-temps. Les resultats analytiques precedemment mentionnes dans le developpement 1/N sont egalement calcules par la resolution des equations de Schwinger-Dyson, a l'ordre sous dominant (OSD). On obtient les correlateurs du champ a deux et quatre points, et on constate que le resultat coincide avec le calcul fait dans la theorie des champs Lorentzienne originale. Enfin, un developpement 1/N est applique directement a la formulation en terme d'une equation de Fokker-Planck de l'approche stochastique, exprimee comme un probleme equivalent d'une equation aux valeurs propres de type equation de Schroedinger. Le spectre associe est calcule en integralite a l'OSD, et donne acces a la dependance en espace-temps de tous les correlateurs de la theorie. (auteur)